سرفصل‌های این مبحث

معادلات درجه سوم

حل معادله در حالات خاص

آخرین ویرایش: 28 آذر 1403

دسته‌بندی: معادلات درجه سوم

امتیاز:

نظر کاربران: برای نظر دادن اولین باش!

فرم كلی هر معادله درجه سوم به‌صورت زیر است كه در آن $d, c, b, a$ اعداد حقیقی است:

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$

در معادله فوق $a \neq 0$ است زیرا در غیر این‌صورت معادله درجه سوم به معادله درجه دوم تبدیل می‌شود.

روش‌هایی كلی برای حل معادله درجه سوم وجود دارد كه به‌علت مفصل بودن فرمول‌های آن عملا از آنها استفاده نمی‌شود.

حل معادله درجه سوم را در حالت‌های خاص زیر بررسی می‌كنیم:

حالت خاص اول

قضیه

اگر در معادله درجه سوم $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ مجموع ضرایب صفر باشد، آن‌گاه معادله بر $(x - 1)$ بخش پذیر است.

اثبات

اگر معادله درجه سوم را بر $(x - 1)$ تقسیم کنیم به یک معادله از درجه دوم می‌رسیم که ریشه‌هایش قابل محاسبه است.

مجموعه ضرایب معادله صفر است:

$a + b + c + d = 0 \Rightarrow d = - a - b - c$

$\begin{array}{l} a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{3} + b x^{2} + c x + (- a - b - c) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a x^{3} - a) + (b x^{2} - b) + (c x - c) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (x^{3} - 1) + b (x^{2} - 1) + c (x - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (x - 1) (x^{2} + x + 1) + b (x - 1) (x + 1) + c (x - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 1) [a (x^{2} + x + 1) + b (x + 1) + c] = 0 \end{array}$

$\Rightarrow (x - 1) [a x^{2} + (a + b) x + (a + b + c)] = 0$

نکته

بدون عمل تقسیم، معادله درجه دوم را می‌توان از فرمول زیر محاسبه کرد:

$a x^{2} + (a + b) x + (a + b + c) = 0$

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$

مجموع ضرایب صفر است:

$(1) + (- 6) + (11) + (- 6) = 0$

یعنی معادله بر $(x - 1)$ بخش پذیر است. معادله را بر $(x - 1)$ تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

$\begin{array}{l} x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 x - 1 \\ \underline{\mp x^{3} \pm x^{2}} x^{2} - 5 x + 6 \\ - 5 x^{2} + 11 x \\ \underline{\pm 5 x^{2} \mp 5 x} \\ 6 x - 6 \\ \underline{\mp 6 x \pm 6} \\ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0 \\ \Rightarrow (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2, x = 3 \end{cases} \end{array}$

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

مجموع ضرایب صفر است:

$(1) + (- 4) + (5) + (- 2) = 0$

یعنی معادله بر $(x - 1)$ بخش پذیر است. معادله را بر $(x - 1)$ تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

$\begin{array}{l} x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 x - 1 \\ \underline{⋮} x^{2} - 3 x + 2 \\ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 = 0 \\ \Rightarrow (x - 1) (x^{2} - 3 x + 2) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1, x = 2 \end{cases}$

حالت خاص دوم

قضیه

اگر در معادله درجه سوم $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ داشته باشیم:

$a + c = b + d$

آن‌گاه معادله بر $(x + 1)$ بخش پذیر است.

اثبات

اگر معادله درجه سوم را بر $(x + 1)$ تقسیم کنیم به یک معادله از درجه دوم می‌رسیم که ریشه‌هایش قابل محاسبه است.

$a + c = b + d \Rightarrow d = a + c - b$

$\begin{array}{l} a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a x^{3} + b x^{2} + c x + (a + c - b) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a x^{3} + a) + (b x^{2} - b) + (c x + c) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (x^{3} + 1) + b (x^{2} - 1) + c (x + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (x + 1) (x^{2} - x + 1) + b (x - 1) (x + 1) + c (x + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 1) [a (x^{2} - x + 1) + b (x - 1) + c] = 0 \end{array}$

$\Rightarrow (x + 1) [a x^{2} + (b - a) x + a - b + c] = 0$

نکته

بدون عمل تقسیم، معادله درجه دوم را می‌توان از فرمول زیر محاسبه کرد:

$a x^{2} + (b - a) x + a - b + c = 0$

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

$x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 12 = 0$

$a + c = b + d \Rightarrow (1) + (5) = (- 6) + 12$

یعنی معادله بر $(x + 1)$ بخش پذیر است. معادله را بر $(x + 1)$ تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

$\begin{array}{l} x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 12 x + 1 \\ \underline{\mp x^{3} \mp x^{2}} x^{2} - 7 x + 12 \\ - 7 x^{2} + 5 x \\ \underline{\pm 7 x^{2} \pm 7 x} \\ 12 x + 12 \\ \underline{\mp 12 x \mp 12} \\ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 12 = 0 \\ \Rightarrow (x + 1) (x^{2} - 7 x + 12) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ x^{2} - 7 x + 12 = 0 \Rightarrow (x - 3) (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 3, x = 4 \end{cases} \end{array}$

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6 = 0$

$1 + 2 = (- 3) + (6)$

یعنی معادله بر $(x + 1)$ بخش پذیر است. معادله را بر $(x + 1)$ تقسیم می‌کنیم تا تجزیه شود:

$\begin{array}{l} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6 x + 1 \\ \underline{⋮} x^{2} - 4 x + 6 \\ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6 = 0 \\ \Rightarrow (x + 1) (x^{2} - 4 x + 6) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ x^{2} - 4 x + 6 = 0 \end{cases} \end{array}$

معادله $x^{2} - 4 x + 6 = 0$ ریشه حقیقی ندارد.

حالت خاص سوم

بعضی از معادلات درجه سوم $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ از راه فاکتورگیری و دسته‌بندی قابل حل می‌باشند.

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

$\begin{array}{l} (x^{3} - 3 x^{2}) - 4 (x - 3) = 0 \\ \Rightarrow x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = 0 \\ \Rightarrow (x - 3) (x^{2} - 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \\ x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \end{cases} \end{array}$

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

$\begin{array}{l} (x^{3} - 2 x^{2}) + (2 x - 4) = 0 \\ \Rightarrow x^{2} (x - 2) + 2 (x - 2) = 0 \\ \Rightarrow (x - 2) (x^{2} + 2) = 0 \\ \Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ x^{2} + 2 = 0 \end{cases} \end{array}$

معادله $x^{2} + 2 = 0$ ریشه حقیقی ندارد.

$x^{3} + 4 x^{2} = 5$

$\begin{array}{l} x^{3} + 4 x^{2} - 5 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{3} - x^{2}) + 5 x^{2} - 5 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} (x - 1) + 5 (x^{2} - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} (x - 1) + 5 (x - 1) (x + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 1) [x^{2} + 5 (x + 1)] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 1) (x^{2} + 5 x + 5) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5}}{2} \end{cases}$

$4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1 = 0$

روش اول - طرفین تساوی را در عدد دو ضرب می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 8 n^{3} + 12 n^{2} + 8 n + 2 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(2 n)}^{3} + {(2 n)}^{2} \times 3 + (2 n) \times 4 + 2 = 0; 2 n = x \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} + (x^{2} + 2 x^{2}) + (2 x + 2 x) + 2 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{3} + x^{2}) + (2 x^{2} + 2 x) + (2 x + 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} (x + 1) + 2 x (x + 1) + 2 (x + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 1) (x^{2} + 2 x + 2) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \overset{2 n = x}{\to} 2 n = - 1 \Rightarrow n = - \frac{1}{2} \\ x^{2} + 2 x + 2 = 0 \Rightarrow (x^{2} + 2 x + 1) + 1 = 0 \Rightarrow {(x + 1)}^{2} + 1 = 0 \Rightarrow {(x + 1)}^{2} = - 1 \end{cases}$

معادله اخیر ریشه حقیقی ندارد.

روش دوم -

$\begin{array}{l} 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow n^{4} + (4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1) = 0 + n^{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(n + 1)}^{4} = n^{4} \Rightarrow {(n + 1)}^{4} - n^{4} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {[{(n + 1)}^{2}]}^{2} - {(n^{2})}^{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow [{(n + 1)}^{2} - n^{2}] [{(n + 1)}^{2} + n^{2}] = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} {(n + 1)}^{2} - n^{2} = 0 \Rightarrow 2 n + 1 = 0 \Rightarrow n = - \frac{1}{2} \\ {(n + 1)}^{2} + n^{2} = 0 \Rightarrow 2 n^{2} + 2 n + 1 = 0; Δ < 0 \end{cases}$

معادله اخیر ریشه حقیقی ندارد.

$x^{3} - x^{2} - 4 = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} - 8 - (x^{2} - 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2) (x^{2} + 2 x^{2} + 4) - (x - 2) (x + 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2) [(x^{2} + 2 x + 4) - (x + 2)] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2) (x^{2} + x + 2) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ x^{2} + x + 2 = 0; Δ < 0 \end{cases}$

معادله اخیر ریشه حقیقی ندارد.

تمرین

دستگاه های زیر را حل کنید.

$\{\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 15 \\ x^{5} + y^{5} + z^{5} = 83 \end{cases}$

اتحاد اولر را در زیر یادآوری می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - x y - x z - y z] \end{array}$

$\Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x + y + z) [{(x + y + z)}^{2} - 2 (x y + x z + y z) - (x y + x z + y z)]$

فرض کنیم:

$\{\begin{cases} x y z = P \\ \begin{array}{l} x y + x z + y z = T \\ x + y + z = S = 3 \end{array} \end{cases}$

$\Rightarrow 15 - 3 P = 3 [{(3)}^{2} - 2 (T) - T]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 15 - 3 P = 3 (9 - 3 T) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 15 - 3 P = 27 - 9 T \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 - P = 9 - 3 T \end{array}$

$\Rightarrow P = 3 T - 4; x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 - 2 T$

$\begin{array}{l} (x^{3} + y^{3} + z^{3}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = x^{5} + x^{3} y^{2} + x^{3} z^{2} + x^{2} y^{3} + y^{5} + z^{2} y^{3} + x^{2} z^{3} + y^{2} z^{3} + z^{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{3} + y^{3} + z^{3}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = (x^{5} + y^{5} + z^{5}) + x^{2} y^{2} (x + y) + x^{2} z^{2} (x + z) + y^{2} z^{2} (y + z) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (15) (9 - 2 T) = 83 + x^{2} y^{2} (3 - z) + x^{2} z^{2} (3 - y) + y^{2} z^{2} (3 - x) \end{array}$

$\Rightarrow 135 - 30 T - 83 = 3 (x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2}) - x y z (x y + x z + y z)$

یادآوری)

${(x y + x z + y z)}^{2} = x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2} + 2 x^{2} y z + 2 y^{2} x z + 2 z^{2} x y$

$\begin{array}{l} {(x y + x z + y z)}^{2} = (x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2}) + 2 x y z (x + y + z) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2} = {(x y + x z + y z)}^{2} - 2 x y z (x + y + z) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2} = T^{2} - 2 (P) (3) \end{array}$

$\Rightarrow x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2} = T^{2} - 6 P$

$\begin{array}{l} 52 - 30 T = 3 (T^{2} - 6 P) - P (T) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 52 - 30 T = 3 (T^{2} - 6 P) - P T \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 52 - 30 T = 3 T^{2} - 18 P - P T; P = 3 T - 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 52 - 30 T = 3 T^{2} - 18 (3 T - 4) - T (3 T - 4) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 52 - 30 T = 3 T^{2} - 54 T + 72 - 3 T^{2} + 4 T \end{array}$

$\{\begin{cases} 20 T = 20 \Rightarrow T = 1 \\ P = 3 T - 4 = 3 (1) - 4 = - 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x y + x z + y z = 1 \\ x y z = - 1 \end{cases}〉 u^{3} - 3 u^{2} + u + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} u^{3} - 3 u^{2} + u + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u^{3} + (- u^{2} - 2 u^{2}) + (2 u - u) + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u^{3} - u^{2} - 2 u^{2} + 2 u - u + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow u^{2} (u - 1) - 2 u (u - 1) - (u - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (u - 1) (u^{2} - 2 u - 1) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} u - 1 = 0 \Rightarrow u = 1 \\ u^{2} - 2 u - 1 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} u = 1 + \sqrt{2} \\ u = 1 - \sqrt{2} \end{cases} \end{cases}$

جواب دستگاه به‌صورت زیر است:

$\{x, y, z\} = \{1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}\}$

$\{\begin{cases} 4 x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8 \\ 2 x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2} = 1 \end{cases}$

$\begin{array}{l} i f y = k x \end{array}$

$\{\begin{cases} 4 x^{3} + 3 x^{2} (k x) + {(k x)}^{3} = 8 \Rightarrow 4 x^{3} + 3 k x^{3} + k^{3} x^{3} = 8 \\ 2 x^{3} - 2 x^{2} (k x) + x {(k x)}^{2} = 1 \Rightarrow 2 x^{3} - 2 k x^{3} + k^{2} x^{3} = 1 \end{cases}$

طرفین تساوی فوق را بر هم تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} \frac{4 x^{3} + 3 k x^{3} + k^{3} x^{3}}{2 x^{3} - 2 k x^{3} + k^{2} x^{3}} = \frac{8}{1} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{3} (4 + 3 k + k^{3})}{x^{3} (2 - 2 k + k^{2})} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k^{3} + 3 k + 4 = 16 - 16 k + 8 k^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k^{3} - 8 k^{2} + 19 k - 12 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (k^{3} - k^{2}) + (- 7 k^{2} + 7 k) + (12 k - 12) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k^{2} (k - 1) - 7 k (k - 1) + 12 (k - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (k - 1) (k^{2} - 7 k + 12) = 0 \end{array}$

$\Rightarrow (k - 1) (k - 3) (k - 4) = 0$

$\begin{array}{l} i f k = 1 \overset{y = k x}{\to} y = x \end{array}$

$\begin{array}{l} 4 x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{3} + 3 x^{3} + x^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 8 x^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} i f k = 3 \overset{y = k x}{\to} y = 3 x \end{array}$

$\begin{array}{l} 4 x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{3} + 3 x^{2} (3 x) + {(3 x)}^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{3} + 9 x^{3} + 27 x^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 40 x^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} = \frac{1}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{5}} \end{array}$

$\Rightarrow y = \frac{3}{\sqrt[3]{5}}$

$\begin{array}{l} i f k = 4 \overset{y = k x}{\to} y = 4 x \end{array}$

$\begin{array}{l} 4 x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{3} + 3 x^{2} (4 x) + {(4 x)}^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4 x^{3} + 12 x^{3} + 64 x^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 80 x^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} = \frac{1}{10} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{10}} \end{array}$

$\Rightarrow y = \frac{4}{\sqrt[3]{10}}$

$\{(1, 1), (\frac{1}{\sqrt[3]{5}}, \frac{3}{\sqrt[3]{5}}), (\frac{1}{\sqrt[3]{10}}, \frac{4}{\sqrt[3]{10}})\}$

تمرین

المپیاد ریاضی

$i f \sin^{3} x + \cos^{3} x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin 2 x = ?$

یادآوری)

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

$\begin{array}{l} \sin^{3} x + \cos^{3} x = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (\sin x + \cos x) (\sin^{2} x - \sin x \times \cos x + \cos^{2} x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\Rightarrow (\sin x + \cos x) (1 - \sin x \times \cos x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\begin{array}{l} i f \sin x + \cos x = y \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(\sin x + \cos x)}^{2} = y^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sin^{2} x + 2 \sin x \times \cos x + \cos^{2} x = y^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 2 \sin x \cos x = y^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{y^{2} - 1}{2} \end{array}$

$\sin 2 x = 2 \sin x \times \cos x = 2 (\frac{y^{2} - 1}{2}) = y^{2} - 1; (Ι Ι)$

$\begin{array}{l} (\sin x + \cos x) (1 - \sin x \times \cos x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y (1 - \frac{y^{2} - 1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y (2 - (y^{2} - 1)) = \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y (3 - y^{2}) = \sqrt{2} \end{array}$

$\Rightarrow y^{3} - 3 y + \sqrt{2} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y^{3} - 2 y) - y + \sqrt{2} = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y (y^{2} - 2) - (y - \sqrt{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y (y - \sqrt{2}) (y + \sqrt{2}) - (y - \sqrt{2}) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y - \sqrt{2}) [y (y + \sqrt{2}) - 1] = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (y - \sqrt{2}) (y^{2} + \sqrt{2} y - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} y = \sqrt{2} \\ y = \frac{- \sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 4}}{2} = \frac{- \sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2} \end{cases} \end{array}$

$\sin x + \cos x = y$

یادآوری)

$- \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq a \sin x + b \cos x \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} \Rightarrow - \sqrt{2} \leq \sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$

$\begin{matrix} y = \sqrt{2} \Rightarrow \sin 2 x = y^{2} - 1 = {(\sqrt{2})}^{2} - 1 = 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} y = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin 2 x = y^{2} - 1 = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2} - 1 = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{4} - 1 = 1 - \sqrt{3} \end{matrix}$

$\begin{matrix} y = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2} < - \sqrt{2} \end{matrix}$

تمرین

نامساوی زیر را ثابت کنید.

$x^{4} + 4 x + 3 \geq 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{4} + (x^{3} - x^{3}) + (- x^{2} + x^{2}) + (x + 3 x) + 3 \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x^{4} + x^{3}) + (- x^{3} - x^{2}) + (x^{2} + x) + (3 x + 3) \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x^{3} (x + 1) - x^{2} (x + 1) + x (x + 1) + 3 (x + 1) \geq 0 \end{array}$

$\Rightarrow (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 3) \geq 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 1) [x^{3} + (x^{2} - 2 x^{2}) + (- 2 x + 3 x) + 3] \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 1) [(x^{3} + x^{2}) + (- 2 x^{2} - 2 x) + (3 x + 3)] \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 1) [x^{2} (x + 1) - 2 x (x + 1) + 3 (x + 1)] \geq 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x + 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 3) \geq 0 \end{array}$

$\Rightarrow {(x + 1)}^{2} [{(x - 1)}^{2} + 2] \geq 0$

طرف سمت چپ نامساوی همواره مثبت است بنابراین به یک نامساوی همیشه درست رسیدیم.

ثابت شد که نامساوی زیر همواره برقرار است:

$x^{4} + 4 x + 3 \geq 0$

حالت خاص چهارم

قضیه

اگر $x = λ$ یکی از ریشه های معادله درجه سوم $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ باشد، آن‌گاه معادله بر $(x - λ)$ بخش پذیر است.

اثبات

اگر $x = λ$ یکی از ریشه های معادله درجه سوم $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ باشد، آن‌گاه در معادله صادق است:

$\{\begin{cases} a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 \\ a λ^{3} + b λ^{2} + c λ + d = 0 \end{cases}$

دو معادله فوق را نظیربه‌نظیر از هم کم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} (a x^{3} - a λ^{3}) + (b x^{2} - b λ^{2}) + (c x - c λ) + (d - d) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (x^{3} - λ^{3}) + b (x^{2} - λ^{2}) + c (x - λ) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a (x - λ) (x^{2} + x λ + λ^{2}) + b (x - λ) (x + λ) + c (x - λ) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow (x - λ) [a (x^{2} + x λ + λ^{2}) + b (x + λ) + c] = 0 \end{array}$

$\Rightarrow (x - λ) [a x^{2} + (a λ + b) x + a λ^{2} + b λ + c] = 0$

تمرین

اگر $x = 2$ یکی از ریشه های معادله زیر باشد، باشد، معادله را حل کنید.

$x^{3} + m x^{2} - 2 x + 4 = 0$

اگر $x = 2$ ریشه معادله درجه سوم فوق باشد، در معادله صادق است:

$i f x = 2 \Rightarrow {(2)}^{3} + m {(2)}^{2} - 2 (2) + 4 = 0 \Rightarrow 8 + 4 m - 4 + 4 = 0 \Rightarrow 4 m = - 8 \Rightarrow m = - 2$

$i f x^{3} + m x^{2} - 2 x + 4 = 0 \overset{m = - 2}{\to} x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 4 = 0$

معادله را بر $(x - 2)$ تقسیم کرده تا تجزیه شود:

$\begin{array}{l} x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 4 x - 2 \\ \underline{\mp x^{3} \pm 2 x^{2}} x^{2} - 2 \\ - 2 x + 4 \\ \underline{\pm 2 x \mp 4} \\ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 4 = 0 \\ \Rightarrow (x - 2) (x^{2} - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ x^{2} - 2 = 0 \Rightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \end{cases} \end{array}$

حالت خاص پنجم

قضیه

اگر ریشه های حقیقی معادله $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ عضو $ℤ$ باشند، عدد ثابت معادله یعنی $(d)$ بر هر یک از ریشه های معادله بخش پذیر است. $(a = 1)$

به‌عبارت دیگر، ریشه های معادله عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد ثابت $d$ هستند.

اثبات

اگر $x_{3}, x_{2}, x_{1}$ ریشه های حقیقی معادله درجه سوم $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ باشند، بعدا خواهیم دید که:

$x_{1} . x_{2} . x_{3} = - \frac{d}{a}$

چون $x_{3}, x_{2}, x_{1}$ عضو $ℤ$ و $a = 1$ است پس داریم:

$i f a = 1 \Rightarrow x_{1} x_{2} x_{3} = - d$

یعنی عدد $d$ بر هر یک از اعداد $x_{3}, x_{2}, x_{1}$ بخش پذیر است، بنابراین $x_{3}, x_{2}, x_{1}$ عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد $d$ هستند.

تمرین

اگر ریشه های معادلات زیر عضو $ℤ$ باشند، معادلات را حل کنید.

$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20 = 0$

عدد ثابت معادله $20$ است و مجموعه مقسوم علیه های جبری آن عبارتند از:

$\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\}$

با جایگذاری مشخص می‌شود که $x = 2$ یکی از ریشه های معادله است.

برای یافتن معادله درجه دوم، معادله را بر $(x - 2)$ تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20 x - 2 \\ \mp x^{3} \pm 2 x^{2} x^{2} - 3 x - 10 \\ \bar{- 3 x^{2} - 4 x} \\ \underline{\pm 3 x^{2} \mp 6 x} \\ - 10 x + 20 \\ \underline{\pm 10 x \mp 20} \\ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20 = 0 \\ \Rightarrow (x - 2) (x^{2} - 3 x - 10) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ x^{2} - 3 x - 10 = 0 \Rightarrow (x + 2) (x - 5) = 0 \Rightarrow x = - 2, x = 5 \end{cases} \end{array}$

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

عدد ثابت معادله $12$ است و مجموعه مقسوم علیه های جبری آن عبارتند از:

$\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\}$

با جایگذاری مشخص می‌شود که $x = 2$ یکی از ریشه های معادله است.

برای یافتن معادله درجه دوم، معادله را بر $(x - 2)$ تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 x - 2 \\ \underline{⋮} x^{2} - x - 6 \\ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0 \\ \Rightarrow (x - 2) (x^{2} - x - 6) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \\ x^{2} - x - 6 = 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = 3, x = - 2 \end{cases} \end{array}$

حالت خاص ششم

قضیه

اگر ریشه های حقیقی معادله $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ به‌صورت کسرهایی گویا به‌فرم $\frac{p}{q}$ باشد و $p, q \in ℤ$ ، آن‌گاه:

$p$ عدد $d$ را می‌شمارد و $q$ عدد $a$ را می‌شمارد.

به‌عبارت دیگر، عدد $p$ عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد ثابت $d$ و عدد $q$ عضو مجموعه مقسوم علیه های جبری عدد $a$ خواهد بود.

اثبات

اگر $x_{3}, x_{2}, x_{1}$ ریشه های حقیقی معادله درجه سوم $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ باشند، بعدا خواهیم دید که:

$x_{1} . x_{2} . x_{3} = - \frac{d}{a}$

اگر $x_{3}, x_{2}, x_{1}$ به‌فرم کسرهایی نظیر $\frac{p^{''}}{q^{''}}, \frac{p^{'}}{q^{'}}, \frac{p}{q}$ باشند، آن‌گاه $\frac{p p^{'} p^{''}}{q q^{'} q^{''}} = - \frac{d}{a}$ بنابراین $d$ بر $p, p^{'}, p^{''}$ و $a$ بر $q^{''}, q^{'}, q$ بخش پذیر است.

تمرین

اگر ریشه های معادله زیر به‌صورت کسرهایی گویا مانند $\frac{p}{q}$ باشد و $p, q \in ℤ$ ، آن‌گاه: باشند، معادله را حل کنید.

$16 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x - 15 = 0$

$x_{1} = \frac{p}{q} \Rightarrow \{\begin{cases} p \in \{\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15\} \\ q \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16\} \end{cases}$

با جایگذاری مشخص می‌شود که $x = \frac{1}{2}$ یکی از ریشه های معادله است.

برای یافتن معادله درجه دوم، معادله را بر $(x - \frac{1}{2})$ تقسیم می‌کنیم:

$\begin{array}{l} 16 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x - 15 x - \frac{1}{2} \\ \underline{⋮} 16 x^{2} - 52 x + 30 \\ 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} 16 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x - 15 = 0 \\ \Rightarrow (x - \frac{1}{2}) (16 x^{2} - 52 x + 30) = 0 \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2}, x = \frac{5}{2}, x = \frac{3}{4} \end{array}$

حالت خاص هفتم

با توجه به اتحاد زیر می‌توان بعضی از معادلات درجه سوم را حل کرد:

${(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$

تمرین

ریشه‌های معادلات درجه سوم زیر را به‌دست آورید.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4 = 0$

$\begin{array}{l} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) - 3 = 0 \\ {(x - 1)}^{3} - 3 = 0 \\ {(x - 1)}^{3} = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} = \sqrt[3]{3} \\ \Rightarrow x - 1 = \sqrt[3]{3} \\ \Rightarrow x = 1 + \sqrt[3]{3} \end{array}$

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 9 = 0$

$\begin{array}{l} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) - 8 = 0 \\ \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = 8 \\ \Rightarrow {(x - 1)}^{3} = 8 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {(x - 1)}^{3} = 2^{3} \\ \Rightarrow x - 1 = 2 \\ \Rightarrow x = 3 \end{array}$

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 26 = 0$

$\begin{array}{l} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) + 27 = 0 \\ \Rightarrow {(x - 1)}^{3} = - 27 \\ \Rightarrow \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} = \sqrt[3]{- 27} \\ \Rightarrow x - 1 = - 3 \\ \Rightarrow x = - 2 \end{array}$

تست‌های این مبحث

تست شماره 1

اگر داشته باشیم:

$\{\begin{cases} (a + 2001) (b + 2001) (c + 2001) = 23 \\ (a + 2013) (b + 2013) (c + 2013) = 11 \\ (a + 2016) (b + 2016) (c + 2016) = 6 \end{cases}$

مقدار عبارت زیر کدام گزینه است؟

$(a + 2024) (b + 2024) (c + 2024)$

$2022$
$2023$
$2024$
$2025$

مشاهده پاسخ تست

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

معادلات درجه سوم

حل معادله در حالات خاص

حالت خاص اول

حالت خاص دوم

حالت خاص سوم

حالت خاص چهارم

حالت خاص پنجم

حالت خاص ششم

حالت خاص هفتم

تست‌های این مبحث

nenomatica

مجموعه قوانین

دسترسی سریع

آیا می‌خواهید فیلم معرفی را مشاهده نمایید؟