اگر معادله درجه دوم را از روش مربع كامل حل كنیم، ریشههای معادله درجه دوم بهصورت زیر محاسبه میشود:
حل معادله درجه دوم از طریق فرمول فوق را دستور روش گوییم.
- در فرمول فوق عبارت زیر را مبین معادله درجه دوم گویند.
- فرمول فوق به صورت سادهتر زیر معرفی میشود.
برای سه حالت بهصورت زیر اتفاق میافتد:
حالت اول
اگر باشد، معادله درجه دوم دارای دو ریشه حقیقی بهصورت زیر است:
تمرین
معادلات درجه دوم زیر را به روش دستور حل کنید.
است، بنابراین معادله دو ریشه حقیقی بهصورت زیر دارد:
است، بنابراین معادله دو ریشه حقیقی بهصورت زیر دارد:
است، بنابراین معادله دو ریشه حقیقی بهصورت زیر دارد:
است، بنابراین معادله دو ریشه حقیقی بهصورت زیر دارد:
تذکر
گاهی اوقات حل بعضی از معادلات در ریاضی، منجر به حل معادله درجه دوم میشود.
تمرین
معادلات زیر را حل کنید.
معادله درجه دوم فوق را حل میکنیم:
، بنابراین معادله دو ریشه حقیقی بهصورت زیر دارد:
طرفین تساوی را در ک.م.م مخرج ضرب میکنیم:
طرفین تساوی را در ک.م.م مخرج ضرب میکنیم:
معادله درجه دوم فوق را حل میکنیم:
، بنابراین معادله دو ریشه حقیقی بهصورت زیر دارد:
معادله درجه دوم فوق را حل میکنیم:
، بنابراین معادله دو ریشه حقیقی بهصورت زیر دارد:
تمرین
معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:
اگر یکی از جواب های معادله برابر باشد، جواب دیگر این معادله چیست؟
اگر یکی از جواب های معادله فوق باشد، این جواب در معادله صادق است.
بهازای این جواب، تساوی فوق برقرار است:
را در معادله جایگذاری میکنیم:
معادله درجه دوم فوق را حل میکنیم:
، بنابراین معادله دو ریشه حقیقی بهصورت زیر دارد:
ریشه دیگر معادله میباشد.
حالت دوم
اگر باشد، معادله درجه دوم دارای دو ریشه مساوی یا یک ریشه مضاعف است که بهصورت زیر محاسبه میشود:
تمرین
معادله درجه دوم زیر را به روش دستور حل کنید.
است، بنابراین معادله یک ریشه مضاعف حقیقی بهصورت زیر دارد:
معادله یک ریشه مضاعف دارد.
است، بنابراین معادله یک ریشه مضاعف حقیقی بهصورت زیر دارد:
تمرین
معادلات زیر را حل کنید.
طرفين تساوی فوق را در ضرب میكنيم:
معادله درجه دوم فوق را حل میکنیم:
است، بنابراین معادله یک ریشه مضاعف حقیقی بهصورت زیر دارد:
کسری مساوی صفر است که صورت آن کسر مساوی صفر باشد:
معادله درجه دوم فوق را حل میکنیم:
است، بنابراین معادله یک ریشه مضاعف حقیقی بهصورت زیر دارد:
تمرین
معادله زیر دارای ريشه مضاعف میباشد:
را بهدست آوريد.
بهعنوان ریشه معادله درجه دوم در معادله زیر صادق است:
دستگاه دو معادله و دو مجهول زیر را حل میکنیم:
تمرین
معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:
مقادير را چنان تعيين كنيد كه معادله فوق ريشه مضاعفی برابر داشته باشد.
شرط ریشه مضاعف:
ریشه مضاعف بهصورت زیر محاسبه میشود:
در دستگاه زیر مقادير را محاسبه میکنیم:
جواب قابل قبول عبارت است از:
تمرین
کسر زیر را در نظر بگیرید:
حوزه تعريف كسر فوق را بهصورت زیر تعریف میکنیم:
را تعيين كنيد.
كسر بهازای تعريف نشده است.
با توجه به اينكه مخرج عبارت درجه دوم است و تنها ريشه اين عبارت درجه دوم است يعنی ريشه مضاعف عبارتِ مخرج است.
بنابراين مخرج كسر همارز عبارت است:
تمرین
رابطه بين ريشه های يک معادله درجه دوم بهصورت زیر است:
ريشه مضاعف معادله را بهدست آوريد.
شرط داشتن ريشه مضاعف است:
نکته
برای آنکه یک عبارت درجه دوم، مربع کامل یا مجذور کامل باشد، باید ریشه مضاعف داشته باشد، یعنی باشد.
تمرین
به ازای چه مقاديری از عبارات زیر مجذور كامل است؟
برای اينكه عبارت درجه دوم مربع كامل باشد، بايستی ريشه مضاعف داشته باشد يعنی:
توجه كنيد:
برای اينكه عبارت درجه دوم مربع كامل باشد، بايستی ريشه مضاعف داشته باشد يعنی:
حالت سوم
اگر باشد، معادله درجه دوم ریشه حقیقی ندارد، زیرا وقتی باشد، در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است.
تمرین
معادلات درجه دوم زیر را به روش دستور حل کنید.
است، بنابراین معادله ریشه حقیقی ندارد.
است، بنابراین معادله ریشه حقیقی ندارد.
تمرین
معادله زیر را حل کنید.
معادله درجه دوم زیر را حل میکنیم:
است، بنابراین معادله فوق ریشه حقیقی ندارد.
بنابراین معادله در حالت کلی فقط یک ریشهی زیر را دارد:
تمرین
معادله زیر مفروض است:
همه مقدارهای پارامتر را طوری پیدا کنید که بهازای هریک از آنها، معادله درجه دوم فوق:
دو ریشه متمایز داشته باشد.
دلتای معادله را بهدست میآوریم:
شرط آنکه معادله درجه دوم، دو ریشه متمایز داشته باشد، آناست که دلتا بزرگ تر از صفر باشد:
ریشه حقیقی نداشته باشد.
شرط آنکه معادله درجه دوم، ریشه حقیقی نداشته باشد، آناست که دلتا کوچک تر از صفر باشد:
دو ریشه برابر داشته باشد.
شرط آنکه معادله درجه دوم، دو ریشه برابر داشته باشد، آناست که دلتا مساوی صفر باشد:
اگر باشد، ضریب یعنی برابر صفر میشود و در این حالت معادله درجه دوم به معادله درجه اول تبدیل میشود.
بنابراین این معادله نمیتواند دو ریشه برابر داشته باشد.
تمرین
معادله درجه دوم زیر را حل کنید.
حالت اول) اگر باشد.
بهازای به معادله زیر میرسیم:
حالت دوم) اگر باشد.
دلتای معادله درجه دوم را بهدست میآوریم.
برای دلتا، سه وضعیت اتفاق میافتد:
با فرض معادله دو ریشه حقیقی دارد که بهصورت زیر محاسبه میشود:
با فرض معادله دو ریشه برابر (یک ریشه مضاعف) دارد که بهصورت زیر محاسبه میشود:
با فرض معادله ریشه حقیقی ندارد.
دریافت مثال
تستهای این مبحث
تست شماره 1
المپیاد مقدماتی ریاضی
معادله زیر چند ریشه حقیقی دارد؟
تست شماره 2
المپیاد مقدماتی ریاضی
معادله زیر چند جواب دارد؟
تست شماره 3
المپیاد ریاضی
معادله زیر چند جواب دارد؟
تست شماره 4
المپیاد مقدماتی ریاضی
اگر باشد:
را برحسب کدامیک از گزینه های زیر است؟
تست شماره 5
معادله زیر چند ریشه حقیقی دارد؟