سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع چند جمله‌ ای (درجه دوم)

آخرین ویرایش: 30 دی 1402
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:

تعریف تابع درجه دوم

تابع چند جمله‌ ای با ضابطه زیر یک تابع درجه دوم است:

fx=ax2+bx+c ; a0

در این‌جا به طور خاص تابع fx=x2 را بررسی می‌کنیم.

fx=x2

ابتدا به‌کمک نقطه‌یابی، نمودار این تابع را رسم می‌کنیم:

تابع درجه دوم - پیمان گردلو

برای به‌دست آوردن دامنه و برد تابع fx=x2:

برای یافتن دامنه تابع کافی است که نمودار رسم شده را روی محور x ها تصویر نماییم.

هرقسمت از محور x ها که توسط عمل تصویر پوشیده شود را دامنه معرفی می‌نماییم: 

Df=0,+

برای یافتن برد تابع کافی است که نمودار رسم شده را روی محور y ها تصویر نماییم.

هر قسمت از محور y ها که توسط عمل تصویر پوشیده شود را برد معرفی می‌نماییم: 

Rf=0,+

به‌عنوان نمونه، نمودار زیر رابطه بین شعاع و مساحت دایره را نشان می‌دهد:

تابع درجه دوم - پیمان گردلو

رابطه‌ داده ‌شده، تابع است زیرا هر خط به موازات محور y ها، نمودار این رابطه را فقط در یک نقطه قطع می‌کند.

رابطه‌ داده‌ شده، تابع خطی نیست زیرا نقاط نمودار فوق، روی یک خط مستقیم قرار نگرفته‌اند.

در این نمودار، با افزایش شعاع، مساحت افزایش پیدا می‌کند.

تمرین

نمودار توابع زیر را رسم می‌کنیم و جدول را کامل می‌کنیم:

تابع درجه دوم - پیمان گردلو

تابع درجه دوم - پیمان گردلو


تابع درجه دوم - پیمان گردلو

تمرین

با توجه به جدول زیر، مشخص می‌کنیم هر نمودار مربوط به کدام تابع است؟

تابع درجه دوم - پیمان گردلو

تابع درجه دوم - پیمان گردلو

یادآوری

برای بررسی مفهوم انتقال در تابع درجه دوم، به لینک های زیر مراجعه کنید:

تمرین

نمودار تابع fx=x2 مفروض است.

با استفاده از مفهوم انتقال، نمودار توابع زیر را رسم کنید.

fx=x2+2

fx=x22

fx=x+22

fx=x2

fx=x2+2

fx=x321

fx=x+12+2

fx=x+12+3

تمرین

نمودار تابعی یک سهمی است که از نقاط 1,-2 و 2,-3 می‌گذرد.

این سهمی، محور yها را در نقطه ای به عرض 1 قطع می‌کند.   

نمایش جبری این تابع را به‌دست آورید.

می‌دانیم معادله سهمی برابر است با:

C:y=ax2+bx+c


وقتی تابعی محور yها در نقطه ای به عرض 1 قطع می‌کند، یعنی سهمی از نقطه 0,1 می‌گذرد که مختصات این نقطه در معادله سهمی صادق است:

0,1CC:y=ax2+bx+c1=a02+b0+cc=1


سهمی از نقاط 1,-2 و 2,-3 می‌گذرد که مختصات آنها در معادله سهمی صادق است:

1,2CC:y=ax2+bx+c2=a12+b1+cc=1a+b+1=2a+b=3


2,3Cy=ax2+bx+c3=a22+b2+cc=13=4a+2b+14a+2b=42a+b=2


دو تساوی فوق را در یک دستگاه، حل می‌کنیم: 

a+b=32a+b=2a=1b=4y=1x2+4x+1y=x24x+1

نمودار آن را رسم کنید، دامنه و برد تابع را مشخص کنید. 

برای رسم سهمی داریم: 

y=x24x+1y=x24x+43y=x223



دامنه و برد تابع از روی نمودار فوق به ‌صورت زیر مشخص می‌شود:

Df=RRf=3,+

تمرین

اگر fx یک چند جمله ای درجه دوم با ضرایب صحیح باشد و داشته باشیم:

f1=070<f8<80

حاصل f5-f4 را محاسبه کنید.

fx=ax2+bx+c    ;    a,b,cZ

f5f4=25a+5b+c16a+4b+c=9a+b

f1=0a+b+c=0c=ab


70<f8<80

70<64a+8b+c<80    ;    c=ab

70<64a+8b+ab<80


70<63a+7b<8070<79a+b<8010<9a+b<11.410<f5f4<11.4


چون a,b ضرایب صحیح است پس جواب 11 است.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید: 

fx=6x2+12x+8

مقدار عبارت زیر را به‌دست آورید:

f10+f12+f14++f28

fx=6x2+12x+8fx=x3+6x2+12x+8x3fx=x+23x3


با توجه به تابع فوق، داریم:

if   x=10    ;    f10=123103if   x=12    ;    f12=143123if   x=14    ;    f14=163143

f   x=28    ;    f28=303283


طرفین تساوی های فوق را باهم جمع می‌کنیم:

f10+f12+f14++f28=303103=270001000=26000

یادآوری

برای رسم نمودار تابع درجه دوم (نمودار سهمی) در حالت کلی، به این لینک مراجعه کنید.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

تابع چند جمله‌ای (درجه دوم)

2,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید