خارج‌ قسمت تقسیم چند جمله‌ ای بر دو جمله‌ ای

آخرین ویرایش: 23 بهمن 1402
دسته‌بندی: بخش‌ پذیری در چند جمله‌ ای
امتیاز:

برای تعیین خارج‌قسمت تقسیم چند جمله‌ای px بر دو جمله‌ای x-a از روش‌های زیر استفاده می‌کنیم:

روش جدول هورنر

چند جمله ای زیر مفروض است:

px=2x34x2+3x5

می‌خواهیم خارج‌ قسمت و باقیمانده چند جمله‌ ای px را بر x-1 به‌روش جدول هونر به‌دست آوریم.

درجه مقسوم n=3 و درجه مقسوم‌ علیه m=1 است.

درجه خارج‌قسمت n-m=2 است یعنی qx از درجه دوم است.

درجه باقیمانده m-1=0  است یعنی Rx از درجه صفر است و باقیمانده یک عدد است.

در زیر داریم:

px=2x34x2+3x5x1=0x=1

ریشه مقسوم علیه یعنی عدد 1 را در ابتدای جدول زیر قرار می‌دهیم.

ضریب های چند جمله ای px را به‌ترتیب در سطر اول قرار می‌دهیم.

اولین ضریب یعنی عدد 2 را عینا به سطر دوم منتقل می‌کنیم.

ریشه مقسوم علیه یعنی عدد 1 را در اولین ضریب از سطر دوم یعنی 2 ضرب کرده و با ضریب دوم در سطر اول یعنی -4 جمع می‌کنیم:  

این عمل را تکرار می‌کنیم تا به جدول زیر یرسیم:

در جدول فوق و در سطر دوم داریم:

  • سه عدد اول یعنی 2,2,1 ضرایب خارج قسمت هستند.
  • عدد آخر یعنی -4 باقیمانده است.

qx=2x22x+1R=4

تمرین

خارج قسمت Px را بر x+2 به‌دست آوريد.

Px=x4+2x3+x9

x+2=0x=2

جدول هورنر - پیمان گردلو

R=11qx=x3+0x2+0x+1qx=x3+1

چند جمله ای زیر مفروض است:

Px=x53x3+2x+1

خارج قسمت و باقيمانده تقسيم Px را بر x-2 به‌دست آوريد. 

x2=0x=2

جدول هورنر - پیمان گردلو

R=13qx=x4+2x3+x2+2x+6

چند جمله ای زیر مفروض است:

Px=x4+x33x2+2x1

خارج قسمت تقسيم Px را بر x-2 به‌دست آوريد. 

x2=0x=2

جدول هورنر - پیمان گردلو

qx=x3+3x2+3x+8

روش ضرایب نامعین

چند جمله‌ ای زیر را در نظر بگیرید:

px=a0xn+a1xn1++an

با توجه مقسوم‌ علیه x-a که از درجه یک است، خارج قسمت این تقسیم از درجه n-1 و به صورت زیر است:

gx=b0xn1+b1xn2++bn1

می‌خواهیم روش ضرایب نامعین را ارائه دهیم.

بدون عمل تقسیم، می‌خواهیم ضرایب نا‌معین زیر را پیدا کنیم:

b0  ,  b1  ,    ,  bn1

در نتیجه توانسته‌ایم خارج قسمت تقسیم را مشخص کنیم.

همان‌طور که از قضیه تقسیم نتیجه می‌شود، باید داشته باشیم:

px=xagx+R

a0xn+a1xn1++an=xab0xn1+b1xn2++bn1+R

a0xn+a1xn1++an=b0xn+b1xn1++bn1xab0xn1ab1xn2abn1+R

a0xn+a1xn1++akxnk++an=b0xn+b1ab0xn1++bkabk1xnk+abn1+R

از تساوی ضرایب جمله‌های هم درجه، خواهیم داشت:

a0=b0

a1=b1ab0b1=a1+ab0

                     ak=bkabk1bk=ak+abk1

                    an=Rabn1R=an+abn1

تمرین

چند جمله ای زیر مفروض است:

px=3x3+5x2+3x+1

خارج قسمت چند جمله‌ای px را بر x+1 به‌دست آوريد. 

x+1=0x=1

p1=313+512+31+1

p1=3+53+1p1=Rp1=0


qx خارج قسمت و از درجه دوم است:

Px=3x3+5x2+3x+1


3x3+5x2+3x+1=x+1ax2+bx+c+0


3x3+5x2+3x+1=ax3+bx2+cx+ax2+bx+c


3x3+5x2+3x+1=ax3+b+ax2+c+bx+c


a=3a+b=5b+c=3c=1a=3      ,       b=2         ,         c=1qx=ax2+bx+cqx=3x2+2x+1

چند جمله ای زیر مفروض است:

px=ax4+bx+2

در چند جمله‌ای px مقادیر a و b را چنان بيابيد كه باقيمانده تقسيم px بر دو جمله‌ای x2+2 برابر 3x-1 باشد.

درجه خارج قسمت:

nm=42=2

درجه خارج قسمت 2 است يعنی خارج قسمت يک معادله درجه دوم است:

ax4+bx+2                    x2+2                                              ax2+mx+n        3x1         ¯


ax4+bx+2=x2+2ax2+mx+n+3x1


ax4+bx+2=ax4+mx3+nx2+2ax2+2mx+2n+3x1


ax4+bx+2=ax4+mx3+n+2ax2+2m+3x+2n1


m=0n+2a=02m+3=b2=2n1m=0   ,   b=3   ,   n=32   ,   a=34


خارج قسمت:

qx=ax2+mx+nqx=34x2+32

چند جمله ای زیر مفروض است:

px=8x3+22x2+22x+17

خارج قسمت چند جمله‌ای px را بر عبارت 2x+4 به‌دست آوريد.

2x+4=0x=2R=p2


R=823+2222+222+17


R=3


خارج قسمت درجه دوم است. 

8x3+22x2+22x+17=2x+4ax2+bx+c3


8x3+22x2+22x+17=2ax3+2bx2+2cx+4ax2+4bx+4c3


8x3+22x2+22x+17=2ax3+2b+4ax2+2c+4bx+4c3


2a=82b+4a=222c+4b=224c3=17a=4   ,b=3    ,c=5


خارج قسمت:

qx=ax2+bx+cqx=4x2+3x+5

چند جمله ای زیر مفروض است:

Px=x53x3+2x+1

خارج قسمت تقسيم Px را بر عبارت x-2 به‌دست آوريد.

خارج قسمت تقسيم از درجه 4 است و می‌توان آن را چنين فرض كرد:

qx=b0x4+b1x3+b2x2+b3x+b4Px=x2qx+R


x53x3+2x+1=x2b0x4+b1x3+b2x2+b3x+b4+R


x53x3+2x+1=b0x5+b1x4+b2x3+b3x2+b4x2b0x42b1x32b2x22b3x2b4+R


x53x3+2x+1=b0x5+b12b0x4+b22b1x3+b32b2x2+b42b3x+2b4+R


b0=a0=1b1=a1+ab0=0+2×1=2b2=a2+ab1=3+2×2=1

b3=a3+ab2=0+2×1=2b4=a4+ab3=2+2×2=6

R=a5+ab4=1+2×6=13R=13

qx=x4+2x3+x2+2x+6


توجه نمائيد كه جدول هورنر بر اساس اين روش پديد آمده است.

اگر x24 بر x3+ax2+bx+c بخش پذير باشد، b را به‌دست آوريد. 

x24=x2x23=x2x36x2+12x8qx


x36x2+12x8=x3+ax2+bx+ca=6   ,   b=12   ,   c=8

برای ارسال نظر وارد سایت شوید