اعمال روی یک جمله‌ ای‌ ها

آخرین ویرایش: 18 بهمن 1402
دسته‌بندی: عبارات جبری
امتیاز:

تعریف یک جمله‌ ای‌ های متشابه

هرگاه قسمت‌های حرفی در دو یا چند یک جمله‌ای یکسان باشند و توان‌های حروف متناظر با هم برابر باشند، به آنها یک جمله‌ای های متشابه گفته می‌شود .

عبارات زیر همگی یک جمله‌ای متشابه هستند:

3x2y  ,  3x2y  ,  7x2y

عبارات زیر یک جمله‌ای متشابه نیستند:

5x3y2,  3x2y3

جمع و تفریق یک جمله‌ ای‌ های جبری

دو یا چند یک جمله‌ای را در صورتی می‌توان با هم جمع یا کم کرد که جملات متشابه باشند، برای این منظور کافی است ضرایب عددی جملات را با هم جمع یا از هم کم کنیم.

عبارت 3ab+2a را نمی‌توان به شکل یک جمله‌ای نوشت، زیرا جملات متشابه ندارد.

تمرین

به تساوی‌ زیر توجه کنید:

5ax=3+2ax=3ax+2ax

در تساوی های فوق خاصیت توزیع پذیری در عمل ضرب مورد استفاده قرار گرفته است.

اختلاف یک جمله‌ ای‌ های 2ax و 3ax در ضریب عددی آن است.

طرف راست تساوی ‌های زیر را مانند تساوی بالا بنویسید.

9ma2x=7+2ma2x=.....4axy2=95axy2=.....12ab2x=8+3+1ab2x=.....

9ma2x=7+2ma2x=7ma2x+2ma2x

4axy2=95axy2=9axy25axy2

12ab2x=8+3+1ab2x=8ab2x+3ab2x+1ab2x

تمرین

به تساوی ‌های زیر توجه کنید:

4a+6a=4+6a=10a7xy23xy2=73xy2=4xy235x2+x2=35+1x2=25x2

در تساوی فوق از خاصیت توزیع پذیری جمع و ضرب در محاسبات بالا مورد استفاده قرار گرفته است.

در هر تساوی، یک جمله‌ ای‌ها، متشابه هستند.

حاصل‌ جمع و تفریق ضرایب در سمت چپ تساوی‌ها، همان ضرایب عددی سمت راست است.

با توجه به عملیات بالا، محاسبات مشابهی را برای عبارت ‌های زیر انجام می‌دهیم:

5x+2x=.....9ab3ba=.....3xy24xy2=.....15y227y2=.....4xyz+2yxzyzx=.....

5x+2x=5+2x=7x

9ab3ba=93ab=6ab

3xy24xy2=34xy2=1xy2=xy2

15y227y2=1527y2=71035y2=335y2

4xyz+2yxzyzx=4+21xyz=5xyz

تمرین

عبارات زير را ساده كنيد:

4x22x2

=42x2=2x2

0/5t3/5t

=0/53/5t=3t

2xy2xy2+5y2x

=21+5xy2=6xy2

ab2ba3

=1213ab=326ab=16ab

2xyz0/4yxz1/6zyx

=20/41/6xyz=22xyz=0xyz=0

3a2b3+5a2b37a2b3

=3+57a2b3=1a2b3=a2b3

ab22ab3+ab4+512ab

=1223+14+512ab=68+3+512ab

=612ab=12ab

524a3b5c2118a3b5c2+736a3b5c2

=524118+736a3b5c2=5314+7272a3b5c2=2572a3b5c2

تمرین

در جای خالی عبارت مناسب قرار دهید.

9a2=4a2+     

9a24a2=      94a2=            =5a2

12ax=16ax+      

12ax16ax=      1216ax=            =4ax

2ax+      =ax

      =ax2ax      =12ax      =1ax      =ax

ab2+      =3ab2

      =3ab2ab2      =3212ab      =22ab      =ab

دریافت مثال

 ضرب یا تقسیم یک جمله‌ ای جبری در یک عدد

برای اینکه یک جمله جبری را در یک عدد ضرب یا بر یک عدد تقسیم کنیم کافی است ضریب جمله را در آن عدد ضرب یا بر آن عدد تقسیم کنیم.

 در زیر حاصل ضرب یا تقسیم اعداد در جملات جبری را مشاهده می‌کنیم:

18a2b3c4×2=18×2a2b3c4=36a2b3c4

18a2b3c4÷2=18a2b3c4×12=18×12a2b3c4=182a2b3c4=9a2b3c4

تمرین

اگر داشته باشیم:

A=2a3bB=3ac3C=5b3c

حاصل عبارات زير را به‌دست آوريد.

2AB32

=22a3b3ac332

=2×2×3×a3×a×b×c332

=12a4bc332=4a4bc32=16a8b2c6

A2C2

=2a3b2×5b3c2=4a6b2×25b6c2

=4×25×a6×b2×b6×c2

=100a6b8c2

ABC2

=2a3b3ac35b3c2=30a4b4c42=900a8b8c8

دریافت مثال

ضرب دو یک جمله‌ ای

برای ضرب دو یک جمله‌ای جبری، ضرایب عددی را در هم و حروف متناظر را نیز درهم ضرب می‌کنیم.

به تساوی زیر توجه کنید:

4xy3z×5x2ya3=4×5.x.x2.y3.y.z.a3=20x3y4za3

در حاصل ‌ضرب فوق، ضرایب عددی درهم ضرب شده است و توان‌های متغیرهای یکسان با توجه به قوانین توان با هم جمع شده‌اند و متغیرهای غیر یکسان را در هم ضرب می‌کنیم.

از حاصل‌ ضرب ضرایب عددی در سمت چپ به ضریب عددی جدیدی در سمت راست رسیده‌ایم.

با توجه به قوانین توان، حاصل ‌ضرب توان‌هایی که پایه‌هایشان با هم برابر است، توان‌‌هایشان با هم جمع شده است.

تمرین

عبارات زیر را در صورت امکان ساده می‌کنیم:

3x2×5y2

=3×5×x2×y2=15x2y2

4x2y×12xy2

=4×12×x2×x×y×y2=2x3y3    

3x2a×15ya2

=3×15×x2×a×a2×y

=35x2a3y

4x2y3z2×2xy4w

=4×2×x2×x×y3×y4×z2×w

=8x3y7z2w

5x2y3×2x3y2z

=5×2x2×x3y3×y2×z

=10x5×y5×z

2xy×13x2yz2

=2×13×x×x2×y×y×z2

=23x3y2z2

12xy213x2y2

=12xy2132x22y2=12xy219x4y2

=12×19×x×x4×y2×y2

=118x5y4

23x4y2z3×6xy3z2×x5y5z5

=23×6×1x4×x×x5y2×y3×y5z3×z2×z5

=4x10×y10×z10

711a3b2×335a12b7×521a5b11

=711×335×521a3×a12×a5b2×b7×b11

=1a20b20=a20b20

تمرین

شکل‌ زیر را در نظر بگیرید:

محیط و مساحت شکل‌ فوق را به‌دست آورید.

محاسبه محیط:


 P=3m2n+2m2n+3m2n+5m2n+3m2n+2m2n=18m2n


محاسبه مساحت مستطیل بالایی:


S=3m2n2m2n=6m4n2 


برای محاسبه ارتفاع x داریم: (قضیه فیثاغورس)


x2=3m2n2m2n2=9m4n2m4n2=8m4n2


ارتفاع ذوزنقه:


x=8m4n2=22m2n


مساحت ذوزنقه:


5m2n+3m2n.22m2n2=8m2n.22m2n2=82m4n2


مساحت کل:


6m4n2+82m4n2=6+82m4n2

تمرین

شکل‌ زیر را در نظر بگیرید:

عبارات جبری - پیمان گردلو

محیط و مساحت شکل‌ فوق را به‌دست آورید.

با توجه به رابطه فیثاغورس داریم:


a2=(5xy)2(3xy)2=25x2y29x2y2=16x2y2a=4xy


محیط:


4xy+5xy+4xy+4xy+3xy=20xy


مساحت:


(4xy+4xy+4xy)(3xy)2=(12xy)(3xy)2=18x2y2

تمرین

از سطح مربع زیر، چهار دایره مساوی خارج شده است.

طول ضلع مربع 4a است.

نشان دهید مساحت قسمت رنگی به‌صورت یک جمله ای با متغیر a است.

در شکل فوق قطر هر دایره 2a می‌باشد، بنابراین شعاع هر دایره a می‌باشد.


مساحت هر دایره πa2 است که مجموع مساحت‌های چهار دایره برابر است با:


S1=4πa2


مساحت کل مربع برابر است با:


S2=4a4a=16a2


مساحت ناحیه‌ سبز رنگ برابر است با:


S=S2S1=16a24πa2=164πa2

درجه و ضریب عددی این یک جمله ای را نشان دهید.

درجه نسبت به a عدد 2 است.


ضریب عددی 164π است.

دریافت مثال

تقسیم یک جمله‌ ای بر یک جمله‌ ای

برای تقسیم یک جمله‌ای A بر یک جمله‌ای B ضرایب عددی را بر هم و حروف متناظر را با رعایت قوانین توان بر هم تقسیم می‌کنیم.

عبارات زیر را در صورت امکان ساده می‌کنیم:

a2bc×c2ba2=a2×b2×c2c×a2=b2c

a2b×3b2a2×4a=12×a×b4×a3×b=3a2

تمرین

عبارات زیر را ساده کنید.

2a2x34ax2

=ax2

24x2y24xy2

=244×x2x×y2y2=6x

14a2b7ab

=147×a2a×bb=2a

6x4y3z2x2z

=62×x4x2×y31×zz=2×32×x2×y3=3x2y3

18a2b3c4÷6ab3c2

=18a2b3c46ab3c2=3×a×c2

2a7b5÷5b3a4

=2a7b55b3a4=25a3b2

48a20b30c40÷12a15×b25×c35

=48a20b30c4012a15×b25×c35=4a5×b5×c5=4a5×b5×c5

تمرین

اگر داشته باشیم:

A=6x2y3z4B=4x4y3z2C=12x2y2z2

حاصل عبارت زیر را به‌دست آوريد.

A×2BC

A×2BC=6x2y3z4×24x4y3z212x2y2z2=48x6y6z612x2y2z2=4x4y4z4

دریافت مثال

نکته

بخش‌ پذیری یک جمله‌ ای بر یک جمله‌ ای

یک جمله‌ای A بر یک جمله‌ای B بخش‌پذیر است درصورتی که حاصل تقسیم A بر B خود یک جمله‌ای باشد، این در صورتی میسر است که :

1- همه متغیرهای B در A باشند.

2- توان‌های عامل‌های موجود در B از توان‌های عامل‌های متناظرشان در A كوچک‌تر یا مساوی باشند.

تمرین

یک جمله ای زیر را در نظر بگیرید:

A=6a3b2c4

یک جمله ای فوق بر كدام‌يک از جمله های زير بخش پذير است؟

B=2a2bc2

AB=6a3b2c42a2bc2=3abc2


A بر B بخش پذير است.

D=3a3b3

AD=6a3b2c43a3b3=2c4b


A بر D بخش پذير نیست.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

اعمال روی یک جمله‌ای‌ها

4,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید