مجموعه توانی

آخرین ویرایش: 11 بهمن 1402
دسته‌بندی: مجموعه در ریاضی
امتیاز:

مقدمه

مجموعه یک عضوی A=1 را در نظر بگیرید.

زیر مجموعه های مجموعه A را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

,1

زیر مجموعه های فوق را در یک مجموعه جدید نمایش می‌دهیم:

,1

تمرین

مجموعه زیر را در نظر بگیرید:

A=a,b,c,d,e,c,d

عضوهای A را بنويسيد و تعيين كنيد گزاره‌ های زير درست هستند يا نادرست؟

aA

عضوهای A عبارتند از:


c,da,b,c,d,e


گزاره فوق، نادرست است.


عنصر a يكی از سه عنصر A نیست و بايد می‌نوشت a.

aA

گزاره فوق، درست است.


a یک زیر مجموعه A است.

a,c,dA

گزاره فوق، درست است.


a,c,d یک زیر مجموعه A است.

b,c,d,eA

گزاره فوق، نادرست است.


b,c,d,e عنصری از A است نه يک زير مجموعه آن.

تعریف

مجموعه A را در نظر می‌گیریم، به مجموعه‌‌ای که شامل کلیه زیر مجموعه‌های A باشد، مجموعه توانی A گویند.

مجموعه توانی A را با pA نشان می‌دهند، بنابراین:

pA=XXA

مجموعه زیر را در نظر بگیرید:

A=1,2

زیر مجموعه‌های A را می‌نویسیم:

زیر مجموعه های صفر عضوی:

= 

زیر مجموعه های یک عضوی:

1,2

زیر مجموعه های دو عضوی:

1,2

مجموعه توانی A به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

pA=,1,2,1,2

تمرین

مجموعه توانی مجموعه های زیر را بنویسید.

A=a,b,c

pA=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c


برای نوشتن عضوهای زیر مجموعه A می‌توانید از جدول زیر استفاده کنید.


مجموعه توانی

A=a,b,c,d

pA=,a,b,c,d,a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d,a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d,a,b,c,d

A=0,1

pA=,0,1,0,1

A=a,,

pA=,a,,,a,,a,,,,a,,

B=,,,

pB=,,,,,,,,,,,,,,,,

A=,0,0,

pA=,,0,0,,,0,,0,,0,0,,,0,0,

قضیه

هرگاه A مجموعه دل‌خواه با nA عضو باشد، تعداد عضوهای مجموعه توانی A برابر است با: 

pA=2nA

اثبات

فرض می‌کنیم به‌ازای هر 0rn مجموعه Ar مجموعه تمام زیرمجموعه‌‌هایی از A باشد که دارای r عضو باشند.

به‌وضوح پیداست که مجموعه k=A0,....,An یک افراز از pA است، زیرا هر عضو از مجموعه pA به یکی و فقط یکی از اعضای مجموعه k تعلق دارد در نتیجه:  

Ar=n!r!nr!pA=A0+A1+...+An

یعنی هر Ar ضریب xr در بسط 1+xn است، پس داریم:   

A0+A1x+A2x2+...+Anxn=1+xn

if  x=1pA=A0+A1+...+An=1+1n=2n

تمرین

تعداد عضوهای مجموعه توانی مجموعه های زیر را محاسبه کنید.

A=1,2,3,4,5,6

pA=2nA=26=64

A=a,b,c,d,e,f,g,h,i,j

pA=2nA=210=1024

A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,T,G,H

pA=2nA=213=210×23=1024×8=8192

تمرین

اگر داشته باشیم:

A=a

تعداد عناصر زیر را مشخص کنید.

pppA

nA=1  :  pA=21=2


pA دو عضو دارد.


ppA=2pA=22=4

pppA=2ppA=24=16

تمرین

مجموعه توانی مجموعه A به تعداد 512 عضو دارد. مجموعه A چند عضو دارد؟

pA=2nA


512=2nA

29=2nA


nA=9

مجموعه توانی مجموعه A به تعداد 524288 عضو دارد. مجموعه A چند عضو دارد؟

pA=2nA


524288=2nA


219=2nA


nA=9

تمرین

کدام‌یک از مجموعه اعداد زیر نمی‌تواند تعداد عضوهای یک مجموعه توانی باشند.

32,256,502,2048

pA=2nA


32=2nA25=2nAnA=5


256=2nA28=2nAnA=8


2048=2nA211=2nAnA=11


عدد 502 را نمی‌توانیم به‌صورت یک عدد توان دار در پایه 2 بنویسیم.


پس این عدد نمی‌تواند تعداد عضوهای یک مجموعه توانی را نشان دهد. 

تمرین

مجموعه های توانی زیر را مشخص کنید و تعداد عضوهای آنها را به‌دست آورید.

p

A= : nA=0p20=1


كه آن يک عضو هم خود تهی می‌باشد، يعنی:


p=

pp

np=1npp=21


pp=,

تمرین

ثابت كنيد اگر داشته باشیم:

AB

آن‌گاه داریم:

pApB

طبق تعريف مجموعه توانی داریم:

x,xpAxA    ;    ABxBxpBpApB

تمرین

نشان دهيد عضوِ عضو هر مجموعه، لزوما عضو آن مجموعه نيست.

فرض کنید:

if  A=1,3    ;    1A111A

تمرین

تعداد اعضای مجموعه B ، سه  واحد كمتر از اعضای مجموعه A است.

اگر حاصل‌ ضرب تعداد زير مجموعه ‌‌های مجموعه A در تعداد زير مجموعه‌ های مجموعه B برابر 32 باشد:

تعداد اعضای هريک از دو مجموعه A,B را بیابید.

تعداد اعضای مجموعه B ، سه  واحد كمتر از اعضای مجموعه A است:

nB+3=nA


ضرب تعداد زير مجموعه ‌‌های مجموعه A در تعداد زير مجموعه‌ های مجموعه B برابر 32 می‌باشد:


2nA×2nB=322nA+nB=25nA+nB=5


دستگاه زیر را حل می‌کنیم:


nA+nB=5nAnB=3

2nA=8nA=4nB=1

تعداد زیر مجموعه های هريک از دو مجموعه A,B را بیابید.

تعداد زیر مجموعه های مجموعه A:


2nA=24=16


تعداد زیر مجموعه های مجموعه B:


2nB=21=2

تمرین

تعداد زيرمجموعه‌ های يک مجموعه 3k+3 عضوی 56 واحد از يک مجموعه 3k عضوی بيش‌تر است. 

عدد k را به‌دست آوريد.

23k+3=23k+56

23k×23=23k+56    ;    if  23k=A

8A=A+56

7A=56A=823k=8

23k=233k=3k=1

تمرین

مجموع تعداد زير مجموعه های سه مجموعه k-2 عضوی و k عضوی و k+1 عضوی برابر 104 است.

تعداد زير مجموعه های هر مجموعه چقدر است؟

2k2+2k+2k+1=104

2k×22+2k+2k×2=104

2k14+1+2=104

2k×134=1042k=104×4132k=32

2k=25k=5


2k2=252=23=82k=25=322k+1=25+1=26=64

تمرین

تعداد زير مجموعه های يک مجموعهk-1 عضوی از تعداد زير مجموعه های يک مجموعه k-3 عضوی 48 واحد بيش‌تر است.

عدد طبيعی k را به‌دست آوريد.

2k1=2k3+482k12k3=482k×212k×23=48

2k1218=4838×2k=483×2k=8×48

3×2k=8×3×162k=23×242k=27k=7

تمرین

تعداد زير مجموعه های يک مجموعه 5k-1 عضوی برابر است با حاصل ضرب تعداد زير مجموعه های دو مجموعه k+5 عضوی و 3k-2 عضوی.

تعداد k را حساب كنيد.

25k1=2k+5×23k225k1=2k+5+3k225k1=24k+3

5k1=4k+35k4k=3+1k=4

تمرین

تعداد زير مجموعه های يک مجموعه k+1 عضوی از سه برابر تعداد زير مجموعه های يک مجموعه k-1 عضوی، 16 واحد بيش‌تر است.

مقدار k را به‌دست آوريد.

2k+1=3×2k1+162k+13×2k1=162k×23×2k×21=16

2k×232=162k×12=16

2k=322k=25k=5

نکته

مجموعه A دارای nA عضو می‌باشد،

تعداد زیر مجموعه های مجموعه توانی مجموعه A  به‌صورت زیر، محاسبه می‌شود:

22nA

تمرین

مجموعه A=1,2 را در نظر بگیرید: 

مجموعه توانی آن را به‌دست آورید.

pA=,1,2,1,2

تعداد زیر مجموعه‌های مجموعه توانی فوق را به‌دست آورید.

222=16

زیر مجموعه‌های مجموعه توانی مجموعه A را بنویسید.

1- زیرمجموعه‌های هیچ عضوی مجموعه توانی:


2-
 زیرمجموعه‌های یک عضوی مجموعه توانی:

,1,2,1,2


3-
 زیرمجموعه‌های دو عضوی مجموعه توانی: 

,1,,2,,1,2,1,2,1,1,2,2,1,2


4-
 زیرمجموعه‌های سه عضوی مجموعه توانی:  

,1,2,,1,1,2,,2,1,2,1,2,1,2


5-
 زیرمجموعه‌های چهار عضوی مجموعه توانی: 

,1,2,1,2

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

مجموعه توانی

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید